Question

已知直角三角形ABC，其三边分为a、b、c（a＞b＞c）．分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S₁，S₂，S₃和V₁，V₂，V₃．则它们的关系为（　　）

A．S₁＞S₂＞S₃，V₁＞V₂＞V₃

B．S₁＞S₂＞S₃，V₁=V₂=V₃

C．S₁＜S₂＜S₃，V₁＜V₂＜V₃

D．S₁＜S₂＜S₃，V₁=V₂=V₃

Answer 1

分析：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令c=3、b=4、a=5，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．

解答：解：当绕a=5边旋转时，其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为S₁=

1

2

×2π×

12

5

×(3+4)=

84

5

π；
体积V₁=

1

3

×π×(

12

5

)2×5=

48

5

π；
当绕b=4边旋转时，S₂=π×3²+π×3×5=24π，
体积V₂=

1

3

π×3²×4=12π；
当绕c=3边旋转时，S₃=π×4²+π×4×5=36π，
体积V₃=

1

3

π×4²×3=16π．
∴S₁＜S₂＜S₃；
V₁＜V₂＜V₃．
故选C．

点评：本题考查旋转体的体积计算公式，本题采用特例法求解．解题时要认真计算，仔细解答．