Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：①函数f（x）的图象过点P（3，-6）；②函数f（x）在x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4；③函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若α，β∈R，求证：|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤

64

3

；
（3）求过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的直线方程．

Answer 1

分析：（1）由③知，函数y=f（x）为奇函数，则得f（x）=ax³+cx，即得f′（x）=3ax²+c，令f′（x）=0且由②得到|x1-x2|=2

- c 3a

=4，再由条件①，即可得到关于参数的方程组，解出即得表达式；
（2）由（1）知，若令f′（x）=2x²-8=0得x=±2，进而得到y=f（x）在[-2，2]上单调递减再由2cosα，2sinβ的范围，即得证|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤f(-2)-f(2)=

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3

；
（3）由（1）知，f′（x）=2x²-8，设切点坐标为(x0，

2

3

x03-8x0)，得到切线方程，由于切线过P（3，-6），则可解得x0=3，x0=-

3

2

，进而过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的切线方程．

解答：解：（1）∵y=f（x-1）关于（1，0）对称
∴y=f（x）关于（0，0）对称
∴函数y=f（x）为奇函数
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx
f′（x）=3ax²+c，令f′（x）=0得x=±

- c 3a

∴|x1-x2|=2

- c 3a

=4
∴12a=-c①
又∵-6=27a+3c②
∴由①②解得a=

2

3

，c=-8
∴f(x)=

2

3

x3-8x…（5分）
（2）由f′（x）=2x²-8=0得x=±2
∴y=f（x）在[-2，2]上单调递减
∵-2≤2cosx≤2，-2≤2sinx≤2
∴|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤f(-2)-f(2)=

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3

…（9分）
（3）∵f′（x）=2x²-8
设切点坐标为(x0，

2

3

x03-8x0)
∴切线方程为y-(

2

3

x03-8x0)=(2x02-8)(x-x0)
∵切线过P（3，-6）
∴-6-(

2

3

x03-8x0)=(2x02-8)(3-x0)
解之得x0=3，x0=-

3

2

∴过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的切线方程为：10x-y-36=0或7x+2y-9=0…（14分）

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、切线方程、函数的奇偶性等是解题的关键．