Question

已知关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，并且抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=2

2

时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，利用根的判断式解得a＜0，再由抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，解得：a＞-

3

2

．由此能求出实数a的取值范围．
（2）由

x1+x2= 2a a+2 x1x2= a a+2

，知|x1|+|x2|=2

2

，由此进行分类讨论，能求出实数a的值．

解答：解：（1）∵方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂
∴△=4a²-4a（a+2）=-8a＞0，
解得：a＜0，
∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴f（2）＜0即f（2）=4-2（2a+1）+2a-5=-2a-3＜0，
解得：a＞-

3

2

．
综上所述得：-

3

2

＜a＜0．
（2）

x1+x2= 2a a+2 x1x2= a a+2

，
∵|x1|+|x2|=2

2

∴(|x1|+|x2|)2=x12+x22+2|x1x2|=(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|，
①当x1x2=

a

a+2

≥0，
即a≥0或a＜-2时，
(|x1|+|x2|)2=(x1+x2)2=(

2a

a+2

)2=8，
解得：a=-4±2

2

（舍），
②当x1x2=

a

a+2

＜0，
即-2＜a＜0时，
(|x1|+|x2|)2=(x1+x2)2-4x1x2=(

2a

a+2

)2-

4a

a+2

=

-8a

(a+2)2

=8，
解得：a=-4或-1，∵-2＜a＜0，∴a=-1．
综上所述：a=-1．

点评：本题考查实数a的取值范围的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．