Question

5．设函数f（x）=|x-3|+|x-a|，如果对任意x∈R，f（x）≥4，则a的取值范围是a≤-1或a≥7．

Answer 1

分析 由绝对值的意义可得|x-3|+|x-a|的最小值等于|a-3|，故有|a-3|≥4，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：由题意，|x-3|+|x-a|≥|（x-3）-（x-a）|=|a-3|，
∵对任意x∈R，f（x）≥4，
∴|a-3|≥4，∴a-3≤-4或a-3≥4，即a≤-1或a≥7，
故实数a的取值范围为a≤-1或a≥7．
故答案为：a≤-1或a≥7．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．