Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+（y-3）²=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{14}}{3}$，$\sqrt{2}$）
• B． [$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，2$\sqrt{2}$）
• C． [$\frac{\sqrt{14}}{3}$，$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 考虑特殊位置，即可求出线段PQ的取值范围．

解答 解：由题意，A在坐标原点时，sin∠POC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴cos∠POC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴sin∠POQ=sin2∠POC=2sin∠POCcos∠POC=$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，
∴sin∠PCQ=$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，
∴cos∠PCQ=-$\frac{5}{9}$，
∴PQ=$\sqrt{{CP}^{2}{+CQ}^{2}-2CP•CQ•cos∠PCQ}$=$\sqrt{2+2-2×2×（-\frac{5}{9}）}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．
A在x轴上无限远时，PQ接近直径2$\sqrt{2}$，
∴线段PQ的取值范围是[$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，2$\sqrt{2}$），
故选：B．

点评 本题考查线段PQ的取值范围，正确利用特殊位置是关键，属于中档题．