Question

已知b，c∈R，若关于的不等式的解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），则（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值是________．

Answer 1

4
分析：先画出函数f（x）=的图象，数形结合可知x₂、x₃为方程=0的两个根，x₁、x₄为方程-4=0的两个根，进而将所求整理化简，利用求根公式将所求表示为关于的函数，最后利用换元法和判别式法求函数值域即可
解答：依题意：x₂、x₃为方程=0的两个根
x₁、x₄为方程-4=0的两个根
设y=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）+（x₄-x₁）=2（x₂-x₁）+（x₄-x₁）
=2（-）+（-）
=2（）+
=2-
令=t，则t＞0
y=2-t
∴（y+t）²=4（t²+16）
即3t²-2yt-y²+64=0
由△=4y²-12（64-y²）≥0，得y²≥48
∴y≥4，（y≤-4不合题意）
故答案为 4
点评：本题主要考查了函数、方程不等式间的内在联系及其相互应用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，换元法、判别式法求函数值域的方法，难度较大