Question

已知b，c∈R，若关于的不等式0≤

x

2

+bx+c≤4的解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），则（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先画出函数f（x）=

x

2

+bx+c的图象，数形结合可知x₂、x₃为方程

x

2

+bx+c=0的两个根，x₁、x₄为方程

x

2

+bx+c-4=0的两个根，进而将所求整理化简，利用求根公式将所求表示为关于

b2-4c

的函数，最后利用换元法和判别式法求函数值域即可

解答：解：依题意：x₂、x₃为方程

x

2

+bx+c=0的两个根
x₁、x₄为方程

x

2

+bx+c-4=0的两个根
设y=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）+（x₄-x₁）=2（x₂-x₁）+（x₄-x₁）
=2（

-b- b2-4c

2

-

-b- b2-4(c-4)

2

）+（

-b+ b2-4(c-4)

2

-

-b- b2-4(c-4)

2

）
=2（

b2-4c+16 - b2-4c

2

）+

b2-4c+16

=2

b2-4c+16

-

b2-4c

令

b2-4c

=t，则t＞0
y=2

t2+16

-t
∴（y+t）²=4（t²+16）
即3t²-2yt-y²+64=0
由△=4y²-12（64-y²）≥0，得y²≥48
∴y≥4

3

，（y≤-4

3

不合题意）
故答案为 4

3

点评：本题主要考查了函数、方程不等式间的内在联系及其相互应用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，换元法、判别式法求函数值域的方法，难度较大