Question

9．设集合A={x|y=$\sqrt{{x^2}-4x+3}$}，B={y|y=x+$\frac{m}{x}$（m＞0），x∈∁_RA}，若2$\sqrt{m}$∈B，则m取值范围是（1，9）．

Answer 1

分析 求出集合A的x的范围，再求出集合B 的x，y范围，x∈∁_RA，2$\sqrt{m}$∈B，根据元素与集合的关系进行判断．

解答 解：∵集合A={x|y=$\sqrt{{x^2}-4x+3}$}={x|x≤1或x≥3}，
∴∁_RA={x|1＜x＜3}，
由题意：集合B 中的x∈∁_RA，
∴集合B 的x范围是：1＜x＜3．
又∵y=x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$．（当且仅当x=$\sqrt{m}$时取等号），即：B={y|y≥2$\sqrt{m}$}（m＞0）．
要使2$\sqrt{m}$∈B，那么$\sqrt{m}∈（1，3）$，即$1＜\sqrt{m}＜3$．
解得：1＜m＜9
∴m取值范围是：1＜m＜9
故答案为：（1，9）

点评 本题考查了一元二次不等式的计算，利用基本不等式求最值中取等号时的值的范围问题，结合元素与集合的关系进行判断．属于基础题．