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若实数列{an}满足ak-1+ak+1≥2ak(k=2,3,…),则称数列{an}为凸数列.
(Ⅰ)判断数列是否是凸数列?
(Ⅱ)若数列{an}为凸数列,k、n、m∈N+,且k<n<m,
(i)求证:
(ii)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:
【答案】分析:(Ⅰ)将代入ak+1+ak-1-2ak判定符号,从而确定数列{an}是否是凸数列;
(Ⅱ) (i)由ak-1+ak+1≥2ak(k=2,3,…)得ak+1-ak≥ak-ak-1,从而am-an≥(m-n)(an+1-an)则,同理可得an-ak≤(n-k)(an+1-an)即,从而证得结论;
(ii)由得(m-n)ak+(n-k)am≥(m-k)an①,先证是凸数列,由①得可得结论.
解答:解:(Ⅰ)∵
∴数列是凸数列.
证明(Ⅱ) (i)由ak-1+ak+1≥2ak(k=2,3,…)得
ak+1-ak≥ak-ak-1am-an=(am-am-1)+(am-1-am-2)+…+(an+1-an)≥(m-n)(an+1-an
,an-ak=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(ak+1-ak)≤(n-k)(an-an-1)≤(n-k)(an+1-an
,故
(ii)由得(m-n)ak+(n-k)am≥(m-k)an.①
故先证是凸数列.
在(m-n)ak+(n-k)am≥(m-k)an中令m=n+1得ak+(n-k)an+1≥(n+1-k)an,令k=1,2,…,n-1,(n≥2)叠加得,⇒2Sn-1+n(n-1)(Sn+1-Sn)≥(n+2)(n-1)(Sn-Sn-1
是凸数列,由①得
点评:本题主要考查了数列与不等式的综合,以及新定义和数列的函数特性,同时考查了计算能力,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

5、对于给定数列{cn},如果存在实常数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是“M类数列”.
(I)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,数列{an}、{bn}是否为“M类数列”?
若是,指出它对应的实常数p&,q,若不是,请说明理由;
(II)若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t为常数.
(1)求数列{an}前2009项的和;
(2)是否存在实数t,使得数列{an}是“M类数列”,如果存在,求出t;如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数列{an}满足ak-1+ak+1≥2ak(k=2,3,…),则称数列{an}为凸数列.
(Ⅰ)判断数列an=(
3
2
)n(n∈N+)
是否是凸数列?
(Ⅱ)若数列{an}为凸数列,k、n、m∈N+,且k<n<m,
(i)求证:
am-an
m-n
an-ak
n-k

(ii)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:
m-n
k
Sk+
n-k
m
Sm
m-k
n
Sn

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

若实数列{an}满足ak-1+ak+1≥2ak(k=2,3,…),则称数列{an}为凸数列.
(Ⅰ)判断数列an=(
3
2
)n(n∈N+)
是否是凸数列?
(Ⅱ)若数列{an}为凸数列,k、n、m∈N+,且k<n<m,
(i)求证:
am-an
m-n
an-ak
n-k

(ii)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:
m-n
k
Sk+
n-k
m
Sm
m-k
n
Sn

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科目:高中数学 来源:2011年重庆一中高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

若实数列{an}满足ak-1+ak+1≥2ak(k=2,3,…),则称数列{an}为凸数列.
(Ⅰ)判断数列是否是凸数列?
(Ⅱ)若数列{an}为凸数列,k、n、m∈N+,且k<n<m,
(i)求证:
(ii)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:

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