Question

5、对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？
若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（II）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．
（1）求数列{a_n}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{a_n}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：对于（I）因为a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，则可验证a_n+1与a_n的关系，b_n+1与b_n的关系^*，写出表达式，即可验证数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”．
对于（II）（1）因为a_n+a_n+1=3t•2ⁿ，可依此相加列出数列{a_n}前2009项和等式，可以看出是等比数列的求和公式求得．
（2）可假设数列{a_n}是“M类数列”，则存在实常数p，q使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，再根据题意解除t，求出对应常数即可．

解答：解：（I）因为a_n=2n，则有a_n+1=a_n+2，n∈N^*
故数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为b_n=3•2ⁿ，则有b_n+1=2b_nn∈N^*
故数列{b_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（II）（1）因为a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*）
则有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=3t•2²⁰⁰⁶，a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3t•2²⁰⁰⁸．
故数列{a_n}前2009项的和S₂₀₀₉=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）++（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）=2+3t•2²+3t•2⁴++3t•2²⁰⁰⁶+3t•2²⁰⁰⁸=2+t（2²⁰¹⁰-4）
故答案为2+t（2²⁰¹⁰-4）
（2）若数列{a_n}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
而a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3t•2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
则有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，a_n+1=2a_n，a_n=2ⁿ，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{a_n}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或-1，0．

点评：此题主要考查数列的概念及其简单的表示法，由题目定义一个数列求这个数列的一系列性质的问题．题目较复杂属于综合题．