Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“M类数列”；
（3）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2009项的和．并判断{a_n}是否为“M类数列”，说明理由；
（4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是演绎推理和类比推理．（1）的解题思路是判断a_n，b_n是否满足“M类数列”的定义：存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立．找到常数p、q是解决问题的关键．（2）是看数列{a_n+a_n+1}是否也满足“M类数列”的定义，根据已知想办法将数列{a_n+a_n+1}的通项公式转化为“M类数列”的一般形式．（3）要先求出数列{a_n}的通项公式，然后利用（1）的解法解决问题．（4）是要根据（2）、（3）的结论，进行归纳，大胆猜想出一个与“M类数列”相关的真命题，原则是尽可能的要简单，以便后续的证明．

解答：解：（1）因为a_n=2n，则有a_n+1=a_n=+2，n∈N^*，
故数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为b_n=3•2ⁿ，则有b_n+1=2b_n，n∈N^*，
故数列{b_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
证明：（2）若数列{a_n}是“M类数列”，则存在实常数p，q，
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
故数列{a_n+a_n+1}也是“M类数列”．
对应的实常数分别为p，2q．
解：（3）因为a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），
则有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，…，
a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=3t•2²⁰⁰⁶，a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3t•2²⁰⁰⁸，
数列{a_n}前2009项的和S₂₀₀₉=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）
=2+3t•2²+3t•2⁴+…+3t•2²⁰⁰⁶+3t•2²⁰⁰⁸=2+t（2²⁰¹⁰-4），
若数列{a_n}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
而a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），则有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q对于任意n∈N^*，都成立，
可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，a_n+1=2a_n，a_n=2ⁿ，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1，经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{a_n}也是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0，或-1，0．
解：（4）命题一：若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n-a_n+1}也是“M类数列”．
逆命题：若数列{a_n-a_n+1}是“M类数列”，则数列{a_n}也是“M类数列”．
当且仅当数列{a_n-a_n+1}是常数列、等比数列时，逆命题是正确的．
命题二：若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n+a_n+1}、{a_n-a_n+1}、{a_n•a_n+1}、{

an

an+1

}是“M类数列”
逆命题：若数列{a_n+a_n+1}、{a_n-a_n+1}、{a_n•a_n+1}、{

an

an+1

}是“M类数列”则数列{a_n}是等比数列．
逆命题是正确的．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．