Question

（2012•怀柔区二模）对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“T数列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{a_n}是“T数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“T数列”；
（Ⅲ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2013项的和．

Answer 1

分析：（I）根据“T数列”的定义加以验证，可得{a_n}是“T数列”，对应的实常数分别为1和2；数列{b_n}也是“T数列”，对应的实常数分别为2和0；
（II）若数列{a_n}是“T数列”，则存在实常数p、q，满足a_n+1=pa_n+q、a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，两式对应相加即可证出数列{a_n+a_n+1}也是“T数列”，对应的实常数分别为p、2q；
（III）根据等式a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），分别取n=2、4、…、2012，得到1006个等式．而S₂₀₁₃=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁）+（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃），将a₁=2和前面1006个等式代入，结合等比数列求和公式即可算出数列{a_n}前2013项的和的表达式．

解答：解：（Ⅰ）因为a_n=2n，则有a_n+1=2n+2=1×a_n+2（n∈N^*），
所以数列{a_n}是“T数列”，对应的实常数分别为1和2．
因为b_n=3•2ⁿ，则有b_n+1=3•2ⁿ⁺¹=2×3•2ⁿ⁺¹=2b_n （n∈N^*），
所以数列{b_n}是“T数列”，对应的实常数分别为2和0---（4分）
（Ⅱ）若数列{a_n}是“T数列”，则存在实常数p、q，
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，故数列{a_n+a_n+1}也是“T数列”．
对应的实常数分别为p、2q．---------------------（8分）
（Ⅲ）因为 a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），
则有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2³，…，a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=3t•2²⁰¹⁰，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=3t•2²⁰¹²．
故数列{a_n}的前2013项的和
S₂₀₁₃=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁）+（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）
=2+3t•2²+3t•2⁴+…+3t•2²⁰¹⁰+3t•2²⁰¹²=2+3t•

4(1-41006)

1-4

=2+t（2²⁰¹⁴-4）．---------（13分）

点评：本题给出“T数列”，要我们验证两个数列是否为“T数列”，并根据题意求数列{a_n}的前2013项的和．着重考查了数列的递推公式和等比数列前n项和的公式等知识，考查了转化化归与函数方程的思想，属于中档题．