Question

如图，O，P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁底面的中心，连接PB，PC，OB，OC和OP．
（1）求证：平面PBO⊥平面PCO
（2）求直线B₁C₁与平面POB所成的角．

Answer 1

分析：（1）根据已知中ABCD是正方形，O，P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁底面的中心，则BO⊥OC，PO⊥OB，则由线面垂直的判定定理可得OB⊥平面PCO，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PBO⊥平面PCO
（2）由正方体的几何特征得B₁C₁∥BC，直线B₁C₁与平面POB所成的角等于直线BC与平面POB所成的角，即∠CBO就是B₁C₁与平面POB所成的角，解三角形CBO即可得到答案．

解答：解：（1）证明：∵ABCD是正方形，O为中心，∴BO⊥OC，
∵O，P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁底面的中心，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OB，
∴OB⊥平面PCO，（3分）
又∵OB?平面PBO，∴平面PBO⊥平面PCO；           （2分）
（2）∵B₁C₁∥BC，
∴直线B₁C₁与平面POB所成的角等于直线BC与平面POB所成的角
∵平面PBO⊥平面PCO，OC⊥OB，∴OC⊥平面POB，
∠CBO就是B₁C₁与平面POB所成的角．（3分）
在△CBO中，∠CBO=

π

4

．所以直线B₁C₁与平面POB所成的角为

π

4

．（2分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是要判断出OB⊥平面PCO，（2）的关键是找出∠CBO就是B₁C₁与平面POB所成的角．