Question

【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是直角三角形,且PA=AB=AC.又平面QBC垂直于底面ABC.

(1)求证:PA∥平面QBC;

(2)若PQ⊥平面QBC,求锐二面角Q-PB-A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点Q作QD⊥BC交BC于点D,则QD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，可得QD∥PA，从而问题得证。

（2）建立空间直角坐标系，找出二面角Q-PB-A所在的两个平面的法向量，求出法向量夹角的余弦值，结合角的范围，得出最终结果。

(1)证明过点Q作QD⊥BC交BC于点D,

因为平面QBC⊥平面ABC,

所以QD⊥平面ABC.

又PA⊥平面ABC,

所以QD∥PA.

而QD平面QBC,PA平面QBC,

所以PA∥平面QBC.

(2)解因为PQ⊥平面QBC,

所以∠PQB=∠PQC=90°.

又PB=PC,PQ=PQ,

所以△PQB≌△PQC,

所以BQ=CQ.

所以点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC,因此AD⊥平面QBC,故四边形PADQ是矩形.

分别以AC,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设PA=2a,则Q(a,a,2a),B(0,2a,0),P(0,0,2a).

设平面QPB的法向量为n=(x,y,z),

因为=(a,a,0),=(0,2a,-2a),

所以

取n=(1,-1,-1).

又平面PAB的一个法向量为m==(1,0,0),

设锐二面角Q-PB-A的大小为θ,

则cos θ=|cos<m,n>|=,

即锐二面角Q-PB-A的余弦值等于.