Question

【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

求出n1，n2，利用n1·n2=0，即可求出a，从而确定P点位置.

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则

令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).

设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则

令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).

∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=，故P.