Question

【题目】已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(1)证明:平面BCN⊥平面C1NB1;

(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)建立空间直角坐标系，根据坐标运算，求得直线与平面的垂直，进而判断平面与平面的垂直。

(2)根据空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而利用两个平面的法向量求出两个平面的二面角大小。

(1)证明∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1两两垂直.

以分别作为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),=-16+16+0=0,=0,

∴NB⊥NB1,NB⊥B1C1.

又NB1与B1C1相交于B1,∴NB⊥平面C1NB1.

又NB平面BCN.

∴平面BCN⊥平面C1NB1.

(2)解设n=(x,y,z)是平面NCB1的一个法向量,=(4,4,-4),=(4,-4,0),

则

取x=1,得n=(1,1,2).

由(1)知=(4,4,0)是平面C1B1N的一个法向量,

cos<n,>=.

故二面角C-NB1-C1的余弦值为.