Question

【题目】已知点，，动点满足．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)设点为轨迹上异于原点的两点，且．

①若为常数，求证：直线过定点；

②求轨迹上任意一点到①中的点距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）利用=2||，建立方程，化简，即可求动点P的轨迹C的方程；

（2）①设直线的方程为，代入得，又

，可得，从而得到结果；②设，则点到点的距离满足：，结合二次函数的图象与性质可得答案.

(1)设，则，，，

由，得，化简得，

故动点的轨迹的方程为.

(2)①设，则，所以.

设直线的方程为，代入得，

从而，即，故直线的方程为，

所以直线过定点.

②设，则点到点的距离满足：

，

，

因为，故当即时，点到点的距离的最小值为；

当即时，点到点的距离的最小值.