【题目】如图,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱底面.已知是 的中点,.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:A1C∥平面;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)通过证明AD⊥平面BB1C1C,得出平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(2)连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE,易证 DE∥A1C,故而A1C∥平面AB1D;
(3)根据 求出棱锥的体积
(1)证明:由已知为正三角形,且D是BC的中点,所以.
因为侧棱底面,,所以底面.
又因为底面,所以.而,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(2)证明:连接,设,连接.
由已知得,四边形为正方形,则为的中点.
因为是的中点,所以.
又因为平面AB1D,平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.
(3)由(2)可知A1C∥平面AB1D.,所以与到平面AB1D的距离相等,
所以.
由题设及,得,且.
所以 ,
所以三棱锥的体积为.
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【题目】已知点,,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点为轨迹上异于原点的两点,且.
①若为常数,求证:直线过定点;
②求轨迹上任意一点到①中的点距离的最小值.
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【题目】给出下列五个命题:
①当时,有;
②若是锐角三角形,则;
③已知是等差数列的前项和,若,则;
④函数与的图像关于直线对称;
⑤当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为.
其中正确命题的序号为___________.
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【题目】已知f(x)=x2+px+q.求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
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【题目】已知曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P.
(1)求过点P且与曲线C2相切的直线方程;
(2)求两条曲线所围图形(如图所示的阴影部分)的面积S.
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【题目】有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD应取多长?
(2)容器的容积为多大?
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【题目】如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC; ②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥; ④平面ADC⊥平面ABC。
其中正确的是___________
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