Question

【题目】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC； ②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC。

其中正确的是___________

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=a，
①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；
②依题意及设法可知，

利用勾股定理可求得，从而可判断②；
③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断；
④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．

设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=a，

D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC平面ADC，
∴BD⊥AC，故①正确；
②由A知，BD⊥平面ADC，CD平面ADC，
∴BD⊥CD，又∴由勾股定理得：，又AB=AC=a，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
③∵△ABC是等边三角形，DA=DB=DC，
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥，故③正确．
④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，

∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③．