Question

【题目】已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：

(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.

Answer 1

【答案】（1）见解析； (2)见解析.

【解析】

（1）根据函数f（x）的解析式，分别将x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），进而求得f（1）+f（3）﹣2f（2）；

（1）“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明，用反证法．

证明：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2×(4＋2p＋q)＝2.

(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，

则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.

而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，

这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，

从而假设不成立，故原命题成立．