Question

【题目】设函数f（x）=xln（ax）（a＞0）
（1）设F（x）= 2+f'（x），讨论函数F（x）的单调性；
（2）过两点A（x1 ， f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直线的斜率为k，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ln（ax）+1，所以 ，

函数F（x）的定义域为（0，+∞），而 ．

…（2分）

①当lna≥0时，即a≥1时，恒有F′（x）≥0，函数F（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当lna＜0，即0＜a＜1时，令F′（x）＞0，得（lna）x2+1＞0，解得 ；

令F′（x）＜0，得（lna）x2+1＜0，解得 ；

综上，当a≥1时，函数F（x）在（0，+∞）上是增函数；

当0＜a＜1时，函数F（x）在 上为增函数，在 上为减函数．

（2）证明： = ，

要证 ，因为x2﹣x1＞0，

即证 ，令 ，则t＞1，

则只要证

①设g（t）=t﹣1﹣lnt，则 ，

故g（t）在[1，+∞）上是增函数．

所以当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt成立．

②要证 ，由于t＞1，即证t﹣1＜tlnt，

设h（t）=tlnt﹣（t﹣1），则h'（t）=lnt＞0（t＞1），

故函数h（t）在[1，+∞）上是增函数，

所以当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt成立．

由①②知成立，得证

【解析】（1）求出导函数的解析式，化简F（x）= 2+f'（x），然后求解F（x）的导数，通过导函数的符号，讨论函数F（x）的单调性；（2）求出过两点A（x1 ， f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直线的斜率k的表达式，利用分析法证明 ．转化为证明 ，通过左右两个不等式，两次构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，利用函数的最值即可证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．