Question

【题目】抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8.

(1)求p的值.

(2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点?若是,求出交点坐标;若不是,说明理由.

(3)求直线l的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】

(1)联立切线方程与抛物线方程，根据相切时判别式为0即可求得p的值。

(2)根据|AF|+|BF|=8，结合抛物线定义可转化为与A、B横坐标相关的等式，从而求得x1+x2=6.设C点坐标(m,0)，因为C在AB的垂直平分线上，所以|AC|=|BC|。然后根据两点间距离公式，代入两个横坐标的和即可求得m的值，进而确定过定点。

(3)设AB的中点为M(x0,y0),表示出直线l方程y=k1(x-5)。将AB中点坐标代入方程后得到M的坐标与直线斜率k之间的关系。根据中点M的在抛物线内可得不等式，进而求得k的范围。

(1)因为抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,所以由得y2-2py+2p=0(p>0)有两个相等实根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.

(2)抛物线y2=4x的准线x=1.且|AF|+|BF|=8,

所以由定义得x1+x2+2=8,则x1+x2=6.

设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C(m,0).

由C在AB的垂直平分线上,从而|AC|=|BC|,

即(x1-m)2+=(x2-m)2+,

所以(x1-m)2-(x2-m)2=,

即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).

因为x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4.

又因为x1+x2=6,所以m=5.

所以点C的坐标为(5,0).

即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点(5,0).

(3)设直线l的斜率为k1,由(2)可设直线l方程为y=k1(x-5).

设AB的中点M(x0,y0),由x0==3,可得M(3,y0).

因为直线l过点M(3,y0),所以y0=-2k1.

又因为点M(3,y0)在抛物线y2=4x的内部,

所以<12.即4<12,则<3.

因为x1≠x2,则k1≠0.

所以k1的取值范围为(-,0)∪(0,).