Question

【题目】已知点P是椭圆E:+y2=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,动点Q满足.

(1)求动点Q的轨迹方程;

(2)若已知点A(0,-2),过点A作直线l与椭圆E相交于B,C两点,求△OBC面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

(1)根据椭圆方程，写出两个焦点坐标；设出动点Q，根据向量的坐标运算，求出P与Q的关系，再根据P在椭圆上，进而求得动点Q的轨迹方程。

(2)首先根据题意可知直线的斜率必定存在，又因为过点A，可利用点斜式设出直线方程。联立椭圆，设出B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标；利用判别式大于0，可求得k的取值范围；利用韦达定理表示出三角形OBC的面积，进而结合基本不等式可求得最后面积的最大值。

(1)∵a2=4,b2=1,∴c=.

∴F1(-,0),F2(,0).

设Q(x,y),P(x0,y0),

∵动点Q满足,

∴

解得x0=-,y0=-,

又(x0,y0)在+y2=1上,代入椭圆方程可得=1,∴动点Q的轨迹方程为=1.

(2)由题意可知:直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,B(x1,y1),C(x2,y2).

联立整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

由Δ>0,解得k2>.

∴x1+x2=,x1x2=.

S△OBC=S△OAC-S△OAB=|OA|·(|x2|-|x1|)=|x2-x1|=

=.

令=t>0,化为4k2=t2+3.

∴S△OBC==1,

当且仅当t=2时取等号,此时k=±.

∴(S△OBC)max=1.