Question

【题目】在平面直角坐标系中，动圆经过点M（a﹣2，0），N（a+2，0），P（0，﹣2），其中a∈R．
（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；
（2）过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A、B，直线OA与直线OB分别交直线y=2于两点C、D，记△ACD与△BCD的面积分别为S1 ， S2 ． 求S1+S2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设动圆圆心的坐标为（x，y），则 ，可知 ．

所以动圆圆心的轨迹E的方程

（2）解：直线l的斜率一定存在，设l的方程为y=kx﹣2，

与抛物线方程联立，得x2+4kx﹣8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣8，

设直线OA方程为y= x，

y=2，得C的横坐标﹣ ．

同理得D的横坐标﹣ ，

所以|CD|=| |=4 ，

所以S1= =2（4﹣kx1） ，

同理S2=2（4﹣kx2） ，

则S1+S2=8

令t= ，（t≥ ），则S1+S2=8t3

令f（t）=8t3，则f′（t）=24t2，t 时，f′（t）＞0

所以f（t）=8t3是[ ）的增函数，所以f（t） ，

即S1+S2的最小值为16

【解析】（1）利用直接法求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l的斜率一定存在，设l的方程为y=kx﹣2，求出S1 ， S2 ． 利用导数的方法求S1+S2的最小值．