Question

3．已知函数$f（x）=1+a•\frac{1}{2^x}+\frac{1}{4^x}$．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）法一、把a=1代入函数解析式，由指数函数的单调性求得f（x）在（-∞，0）上的值域；法二、令$t={（\frac{1}{2}）^x}$换元，由x的范围求出t的范围，转化为二次函数求值域；
（2）由f（x）＜3，即$a•{（\frac{1}{2}）^x}≤2-{（\frac{1}{4}）^x}$，分离参数a，然后利用换元法求函数的最小值得答案．

解答 解：（1）法一、当a=1时，
$f（x）=1+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$，由指数函数单调性知f（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）；
法二、令$t={（\frac{1}{2}）^x}$，由x∈（-∞，0）知：t∈（1，+∞），
∴y=g（t）=t²+t+1（t＞1），其对称轴为直线$t=-\frac{1}{2}$，
∴函数g（t）在区间（1，+∞）上为增函数，
∴g（t）＞g（1）=3，
∴函数f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）；
（2）由题意知，f（x）＜3，即$a•{（\frac{1}{2}）^x}≤2-{（\frac{1}{4}）^x}$，
由于${（\frac{1}{2}）^x}＞0$，$a≤2×{2^x}-\frac{1}{2^x}$在[0，+∞）上恒成立．
若令2^x=t，$h（t）=2t-\frac{1}{t}$，则：t≥1且a≤h_min（t）．
由函数h（t）在[1，+∞）上为增函数，
故φ_min（t）=φ（1）=1．
∴实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了指数函数的单调性，训练了分离变量法，是中档题．