Question

（12分）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：

①   ②，其中n∈N^*，M是与n无关的常数

(1)若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；

(2)设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；

(3)在(2)的条件下，设，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

 

Answer 1

【答案】

 (1) {S_n}W  ；  (2) M的最小值为7； (3) 见解析.

【解析】第一问利用S_n=-n²+9n

  满足①   当n=4或5时，S_n取最大值20

第二问中b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大项是b₃=7

          ∴ M≥7   M的最小值为7              …………8分

第三问中，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）

成等比数列，则b_q²=b_p­·b_r

∴

∴

∵ p、q、r∈N^*       

∴ p=r与p≠r矛盾

解：(1) S_n=-n²+9n

满足①

     当n=4或5时，S_n取最大值20

  ∴S_n≤20满足②   ∴{S_n}∈W          …………4分

  (2) b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大项是b₃=7

∴ M≥7   M的最小值为7              …………8分

 (3) ，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）

         成等比数列，则b_q²=b_p­·b_r

∴

∴

∵ p、q、r∈N^*       

∴ p=r与p≠r矛盾

∴ {C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列   …………12分