Question

（2012•莆田模拟）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①

an+an+2

2

≤an+1；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数．现给出下列的四个无穷数列：（1）an=2n-n2；（2）an=3n-2n；（3）a_n=2n；（4）an=3-(

1

3

)n，写出上述所有属于集合W的序号

（1）（4）

．

Answer 1

分析：根据集合W是否满足①

an+an+2

2

≤an+1；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数这两个条件的集合，说明不是可根据函数的单调性，判定数列是不存在最大值，从而可判定选项．

解答：解：（1）由a_n=2n-n²，得a_n+a_n+2-2a_n+1=2n-n²-（n+2）²+2（n+2）+2（n+1）²-4（n+1）=-2≤0
所以数列{a_n}满足

an+an+2

2

≤an+1．
又a_n=-（n-1）2+1，当n=1时，a_n取得最大值1，即a_n≤1．
满足集合W的两个条件，从而可知（1）属于集合W
（2）由an=3n-2n得an+1-an=3n+1-2(n+1)-3n+2n=2×3ⁿ-2＞0
∴无穷数列{a_n}是单调递增数列，故不存在M满足条件
则（2）不属于集合W
（3）由a_n=2n得a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2＞0
∴无穷数列{a_n}是单调递增数列，故不存在M满足条件
则（3）不属于集合W
（4）由an=3-(

1

3

)n得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以数列{a_n}满足

an+an+2

2

≤an+1．
当n趋向无穷大时，an=3-(

1

3

)n趋近于3，故a_n＜3
满足集合W的两个条件，从而可知（4）属于集合W
故答案为：（1）（4）

点评：本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的单调性，同时考查了了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．