Question

（2012•莆田模拟）若实数a，b，c使得函数f（x）=x³+ax²+bx+c的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率e₁，e₂，e₃，则a，b，c的一种可能取值依次为（　　）

• A．-2，-1，2
• B．2，0，-2
• C．-

  7

  2

  ，

  7

  2

  ，-1
• D．-1，

  7

  2

  ，-

  7

  2

Answer 1

分析：将零点1代入，求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，根据椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，即可得到结论．

解答：解：抛物线的离心率为1，将1代入得到1+a+b+c=0，
∴c=-a-b-1，代入方程得x³+ax²+bx-a-b-1=0．
分解得（x-1）[x²+（a+1）x+a+b+1]=0．
于是方程另两根满足x²+（a+1）x+a+b+1=0，由已知得此方程的两根一个大于1，另一个大于0而小于1．
设g（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，则 g（0）＞0且g（1）＜0，
即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，所以-（a+b+1）＜0 与 2a+b+3＜0
相加得a＜-2．
故选C．

点评：本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，考查学生的计算能力，属于中档题．