Question

（2012•莆田模拟）已知函数f（x）=lnx+x²-mx．
（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围；
（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a²+c²＜b²．

Answer 1

分析：（1）确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极小值；
（2）求导函数，函数f（x）在定义域内为增函数，转化为2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值，即可求实数m的取值范围；
（3）由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增，利用

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），求得

BA

•

BC

＜0，从而可得∠ABC为钝角，利用余弦定理可得结论．

解答：（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），若m=3，则f（x）=lnx+x²-3x
∴f′（x）=

(x-1)(2x-1)

x

令f′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

或x＞1；令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴

1

2

＜x＜1
∴x=1时，函数有极小值为f（1）=-2；
（2）解：求导函数可得：f′（x）=

2x2-mx+1

x

∵函数f（x）在定义域内为增函数，
∴f′（x）=

2x2-mx+1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立
∴2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立
∴m≤2x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0时，2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号）
∴m≤2

2

∴实数m的取值范围为（-∞，2

2

]；
（3）证明：由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，
∴y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴x₁＜x₂＜x₃，y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

•

BC

＜0
∴cos＜

BA

，

BC

＞=

BA • BC

| BA || BC |

＜0
∴∠ABC为钝角
∴

a2+c2-b2

2ac

＜0
∴a²+c²＜b²．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，分离参数，确定函数的最值是关键．