Question

设复数z=

7+i

3+4i

-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R，则|z|的取值范围是

[1，

5

]

．

Answer 1

分析：先将z化成代数形式，然后利用模的计算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，看作关于sinθ的二次函数进行求解即可．

解答：解：z=

7+i

3+4i

-isinθ=

(7+i)(3-4i)

(3+4i)(3-4i)

-isinθ
=（1-i）-isinθ=1-（sinθ+1）i，
根据复数模的计算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，
∵θ∈R
∴sinθ∈[-1，1]则|z|²∈[1，5]
∴|z|∈[1，

5

]
故答案为：[1，

5

]

点评：本题考查了复数代数形式的基本运算，复数模的计算，二次函数、三角函数的性质，同时考查了计算能力，属于基础题．