Question

设复数z=

7+i

3+4i

-i•sinθ，其中i为虚数单位，θ∈R，则|z|的取值范围是（　　）

• A、[1，

  3

  ]
• B、[

  2

  ，3]
• C、[

  2

  ，

  5

  ]
• D、[1，

  5

  ]

Answer 1

分析：首先整理复数的式子，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，合并同类项写出复数的模长表示式，根据正弦值的范围和二次函数的最值求法，得到结果．

解答：解：复数z=

7+i

3+4i

-i•sinθ=

(7+i)(3-4i)

(3+4i)(3-4i)

-isinθ
=1-i-isinθ，
∴|z|=

1+(1+sinθ)2

∵θ∈R
∴sinθ∈[-1，1]
∴当sinθ=-1时，模长取到最小值1，
当sinθ=1时，模长取到最大值

5

，
故选D．

点评：本题考查复数求模长，考查复数的代数形式的乘除运算，考查三角函数的性质，考查二次函数的最值求法，本题是一个比较简单的综合题目．