Question

已知

a

=（cos

2

3

π，sin

2

3

π），

OA

=

a

-

b

，

OB

=

a

+

b

，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：根据向量的数量积及其运算性质，结合题中数据算出|

a

|=|

b

|=1且

a

⊥

b

，得到

a

、

b

是互相垂直的单位向量．由此算出

OA

、

OB

的模，利用三角形的面积公式加以计算，可得答案．

解答：解：∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=0，
展开化简得：

a

²-

b

²=0，得|

a

|=|

b

|
又∵|

OA

|=|

OB

|，
∴|

OA

|2=|

OB

|2，即（

a

-

b

）²=（

a

+

b

）²，结合|

a

|=|

b

|得

a

⊥

b

∵

a

=（cos

2

3

π，sin

2

3

π），得|

a

|=

cos2 2π 3 +sin2 2π 3

=1，
∴|

a

|=|

b

|=1，可得

a

、

b

是互相垂直的单位向量
因此，|

OA

|=|

OB

|=

2

，得△OAB的面积S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|=1．
故选：A

点评：本题给出单位向量互相垂直，求与之相关的△OAB的面积．着重考查了平面向量的数量积公式、向量量积的运算性质和模的公式和三角形的面积求法等知识，属于中档题．