Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，n∈N^*．
（1）证明：数列{

an

n

}是等差数列；
（2）设a_n=（

2nbn

32n+1

）²，求正项数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*，从而

an+1

n+1

-

an

n

=1，

a1

1

=1，由此能证明数列{

an

n

}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由a_n=n²，得a_n=（

2nbn

32n+1

）²=n²，正项数列{b_n}，从而b_n=

1

2

×32n+1，由此能求出正项数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，n∈N^*，
∴na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，

a1

1

=1，
∴数列{

an

n

}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
（2）解：∵数列{

an

n

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴

an

n

=n，∴a_n=n²，
∴a_n=（

2nbn

32n+1

）²=n²，正项数列{b_n}，
∴b_n=

1

2

×32n+1，
∴S_n=

1

2

（3³+3⁵+…+3²ⁿ⁺¹）
=

1

2

×

27(1-9n)

1-9

=-

27

16

（1-9ⁿ）．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用．