Question

（2012•绵阳三模）已知f^-1（x）为函数f（x）=

x

1+x

（x≠-1）的反函数，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N^*）．
（I）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（II）已知数列{b_n}满足b_n=|

2nSn

an

|，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由函数f（x），求得反函数，再由f^-1（S_n+1）=S_n求得数列{

1

Sn

}是以1为公差，首项为1的等差数列，由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可计算得S_n从而计算得到T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，最后由错位相消法求和．

解答：证明：（I）函数f（x）的反函数为f^-1（x）=

x

1-x

（x≠1）．
∵f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N*），
∴S_n=

Sn+1

1-Sn+1

，即

1

Sn+1

-

1

Sn

=1，
∴数列{

1

Sn

}是以1为公差，首项为1的等差数列．…（4分）
（II）由（I）知，

1

Sn

=1+(n-1)×1=n，即S_n=

1

n

．
∴当n=1时，a_n=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

n

-

1

n-1

=-

1

n(n-1)

，
即a_n=

1，n=1 - 1 n(n-1) ，n≥2

 …（6分）
由题意得b_n=

2，n=1 (n-1)•2n，n≥2

…（7分）
∴当n=1时，T_n=T₁=b₁=2．
当n≥2时，
T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n-2T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-2)

1-2

-(n-1)•2n+1，
即-T_n=（2-n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6，
经验证n=1时，T₁的值也符合此公式，
∴对n∈N*，T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6．  …（12分）

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，错位相消法求和等问题，属中档题，是常考类型．