Question

设a∈R，f（x）=x³-x²-x+a，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，实数a的取值范围是

(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：要使函数f（x）=x³-x²-x+a的图象与直线x轴只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与0进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．

解答：解：求一阶导数可得f'（x）=3x²-2x-1，
两个极值点分别在x=1、x=-

1

3

，
代入函数，得f（1）=a-1，f（-

1

3

）=a+

5

27

，
当a-1＞0时，f（1）＞0，得出a＞1，
当a+

5

27

＜0时，f（-

1

3

）＜0，得出a＜-

5

27

，
则曲线y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，实数a的取值范围为：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)，
故答案为：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．