Question

（2012•杨浦区二模）设a∈R，f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x-

4

2x+1

-1的零点；
（2）设g（x）=2log₂（

1+x

k

），若不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：由f（x）是奇函数，可得f（0）=0，可求a，进而可求f（x）
（1）令F（x）=0可求函数F（x）的零点
（2）由f^-1（x）≤g（x）恒成立，可得log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

恒成立，可得k²≤1-x²，x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立，只要k²≤（1-x²）_min即可求解

解答：解：∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0
∴a=1，f（x）=

2x-1

2x+1

（1）F（x）=

2x-1

2x+1

+2x-

4

1+2x

-1=

22x+2x-6

1+2x

由2^2x+2^x-6=0=0，可得2^x=2，所以，x=1，
即F（x）的零点为x=1．
（2）f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，在区间[

1

2

，

2

3

]上，由f^-1（x）≤g（x）恒成立，
∴log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

恒成立，即

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2恒成立
即k²≤1-x²，x∈[

1

2

，

2

3

]，
∴k2≤

5

9

所以-

5

3

≤k≤

5

3

点评：本题主要考查了奇函数的性质在函数的解析式的求解中的应用，函数的零点的求解以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互的转化