Question

（2012•杨浦区二模）已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“生成数列”．
（1）若数列A₄：a₁，a₂，a₃，a₄的“生成数列”是B₄：5，-2，7，2，求A₄；
（2）若n为偶数，且A_n的“生成数列”是B_n，证明：B_n的“生成数列”是A_n；
（3）若n为奇数，且A_n的“生成数列”是B_n，B_n的“生成数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的第i（i=1，2，…，n）项取出，构成数列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…证明：数列Ω_i是等差数列，并说明理由．

Answer 1

分析：本题是新定义问题．
对于（1），根据题目给出的新定义，列有关a₁，a₂，a₃，a₄，的方程组求解；
对于（2），可采用两种证明方法，方法①可根据题目给出的条件，b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，分析归纳得到想bi=ai+(-1)i(a1-an)，然后用数学归纳法证明该式成立，由此衍生新生成数列C_n，进一步说明C_n就是A_n，也可依据已知写出b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃…，消去偶数式求证；
对于（3），欲证数列Ω_i是等差数列，可设数列X_n，Y_n，Z_n中后者是前者的“生成数列”．欲证Ω_n成等差数列，只需证明x_n，y_n，z_n成等差数列，即只要证明2y_i=x_i+z_i（i=1，2，…，n）即可．

解答：解：（1）由题意得，b₁=a₄=5，b₂=-2=a₂+a₁-5，b₃=7=a₃-a₁+5，b₄=2=a₄+a₁-5，
所以A₄：2，1，4，5
（2）证法一：
证明：由已知，b₁=a₁-（a₁-a_n），b₂=a₁+a₂-b₁=a₂+（a₁-a₂）
因此，猜想bi=ai+(-1)i(a1-an)
①当i=1时，b₁=a₁-（a₁-a_n），猜想成立；
②假设i=k（k∈N^*时，bk=ak+(-1)k(a1-an)．
当i=k+1时，bk=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
=ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
=ak+1+(-1)k(a1-an)
故当i=k+1时猜想也成立．
由 ①、②可知，对于任意正整数i，有bi=ai+(-1)i(a1-an)．
设数列B_n的“生成数列”为C_n，则由以上结论可知
ci=bi+(-1)i(b1-bn)=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(b1-bn)，其中i=1，2，3…n．
由于n为偶数，所以bn=an+(-1)n(a1-an)=a1，
所以ci=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(an-a1)=ai，其中i=1，2，3，…，n．
因此，数列C_n即是数列A_n．
证法二：
因为b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，
…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，…
由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这

n

2

个式子都乘以-1，相加得
b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…-（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…-（a_n-1+a_n）
即-b_n=-a₁，∴b_n=a₁．
由于a₁=b_n，a_i=b_i-1+b_i-a_i-1（i=1，2…，n）
根据“生成数列”的定义知，数列A_n是B_n的“生成数列”．
（3）证明：设数列X_n，Y_n，Z_n中后者是前者的“生成数列”．欲证Ω_n成等差数列，只需证明x_n，y_n，z_n成等差数列，即只要证明2y_i=x_i+z_i（i=1，2，…，n）即可
由（2）中结论可知yi=xi+(-1)i(x1-xn)，
zi=yi+(-1)i(y1-yn)
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(y1-yn)
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i[xn-xn-(-1)n(x1-xn)]
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(x1-xn)
=xi+2(-1)i(x1-xn)，
所以，xi+zi=2xi+2(-1)i(x1-xn)=2yi，即x_i，y_i，z_i成等差数列，
所以Ω_n是等差数列．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．