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(2012•杨浦区二模)如图,椭圆C1
x2
4
+y2=1,x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.
(1)求实数b的值;
(2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA、MB分别与C1相交与D、E.
①证明:MD•ME=0;
②记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.若
S1
S2
=λ,求λ的取值范围.
分析:(1)确定半长轴为2,利用x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长,可求b的值;
(2)①设直线的方程与抛物线方程联立,利用点M的坐标为(0,-1),可得kMAkMB=-1,从而得证;
②设直线的斜率为k1,则直线的方程为y=k1x-1,代入抛物线方程可得x2=k1x,从而可得点A的坐标、点B的坐标,进而可得S1,同理可得S2,进而可得比值,由此可得λ的取值范围.
解答:(1)解:由题意知:半长轴为2,则有2
b
=2              …(3分)
∴b=1                                 …(4分)
(2)①证明:由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线的方程为y=kx.
与抛物线方程联立,消去y可得x2-kx-1=0,…(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=k,x1x2=-1.…(7分)
又点M的坐标为(0,-1),所以kMAkMB=
y1+1
x1
×
y2+1
x2
=
-k2+k2+1
-1
=-1…(9分)
故MA⊥MB,即MD⊥ME,故
MD
ME
=0
                …(10分)
②设直线的斜率为k1,则直线的方程为y=k1x-1,代入抛物线方程可得x2=k1x,解得x=0或x=k1,则点A的坐标为(k1k12-1) …(12分)
同理可得点B的坐标为(-
1
k1
1
k12
-1)

于是S1=
1
2
|MA||MB|
=
1
2
1+k12
|k1
1+
1
k12
×|-
1
k1
|
=
1+k12
2|k1|

直线的方程为y=k1x-1,代入椭圆方程,消去y,可得(1+4k12)x2-8k1x=0,解得x=0或x=
8k1
1+4k12
,则点D的坐标为(
8k1
1+4k12
4k12-1
1+4k12
)
;    …(14分)
同理可得点E的坐标(
-8k1
4+k12
4-k12
4+k12
)

于是S2=
1
2
|MD||ME|
=
32(1+k12)|k1|
(1+4k12)(4+k12)

因此
S1
S2
=
1
64
(4k12+
4
k12
+17)
,…(16分)
又由点A,B的坐标可知,k=
k12-
1
k12
k1+
1
k1
=k1-
1
k1
,平方后代入上式,
所以λ=
4k2+25
64
25
64

故λ的取值范围为[
25
64
,+∞
).                               …(18分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与抛物线、椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,属于中档题.
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2
45
2
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