练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设函数f(x)=
    1
    a
    x，0≤x≤a    		 
    1
    1-a
    (1-x)，    		a＜x≤1
    常数且a∈（0，1）．
    （1）当a=
    1
    2
    时，求f（f（
    1
    3
    ））；
    （2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
    （3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上的最大值和最小值．
    （1）当a=
    1
    2
    时，求f（
    1
    3
    ）=
    2
    3
    ，故f（f（
    1
    3
    ））=f（
    2
    3
    ）=2（1-
    2
    3
    ）=
    2
    3

    （2）f（f（x））=
    1
    a2
    x，0≤x≤a2
    1
    a(1-a)
    (a-x)，a2＜x≤a
    1
    (1-a)2
    (x-a)，a＜x≤a2-a+1
    1
    a(1-a)
    (1-x)，a2-a+1＜x≤1

    当0≤x≤a2时，由
    1
    a2
    x    =x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
    当a2＜x≤a时，由
    1
    (1-a)2
    (x-a)    =x，解得x=
    a
    -a2+a+1
    ∈(a2，a)
    因为f（
    a
    -a2+a+1
    ）=
    1
    a
    ×
    a
    -a2+a+1
    =
    1
    -a2+a+1
    ≠
    a
    -a2+a+1
    ，
    故x=
    a
    -a2+a+1
    是函数的二阶周期点；
    当a＜x≤a2-a+1时，由
    1
    (1-a)2
    (x-a)    =x，解得x=
    1
    2-a
    ∈（a，a2-a+1），因为f（
    1
    2-a
    ）=
    1
    2-a
    ，故得x=
    1
    2-a
    不是函数的二阶周期点；
    当a2-a+1＜x≤1时，由
    1
    a(1-a)
    (1-x)=x    ，解得x=
    1
    -a2+a+1
    ∈（a2-a+1，1），因为f（
    1
    -a2+a+1
    ）=
    a
    -a2+a+1
    ≠
    1
    -a2+a+1
    ，故x=
    1
    -a2+a+1
    是函数的二阶周期点；
    因此函数有两个二阶周期点，x1=
    a
    -a2+a+1
    ，x2=
    1
    -a2+a+1

    （3）由（2）得A（
    a
    -a2+a+1
    ，
    a
    -a2+a+1
    ），B（
    1
    -a2+a+1
    ，
    1
    -a2+a+1
    ）
    则s（a）=S△OCB-S△OCA=
    1
    2
    ×
    a2(1-a)
    -a2+a+1
    ，所以s′（a）=
    1
    2
    ×
    a(a3-2a2-2a+2)
    -a2+a+1
    ，
    因为a∈（
    1
    3
    ，
    1
    2
    ），有a2+a＜1，所以s′（a）=
    1
    2
    ×
    a(a3-2a2-2a+2)
    -a2+a+1
    =
    a[(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)]
    (-a2+a+1)2
    ×
    1
    2
    ＞0（或令g（a）=a3-2a2-2a+2利用导数证明其符号为正亦可）
    s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上是增函数，
    故s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上的最小值为s（
    1
    3
    ）=
    1
    33
    ，最大值为s（
    1
    2
    ）=
    1
    20
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a为实数，设函数f(x)=a
    		1-x2
    +
    		1+x
    +
    		1-x
    的最大值为g（a）．
    （Ⅰ）设t=
    		1+x
    +
    		1-x
    ，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）
    （Ⅱ）求g（a）
    （Ⅲ）试求满足g(a)=g(
    1
    a
    )    的所有实数a

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f(x)=
    log
    1-mx
    x-1
    a
    为奇函数，g（x）=f（x）+loga（x-1）（ax+1）（ a＞1，且m≠1）．
    （1）求m值；
    （2）求g（x）的定义域；
    （3）若g（x）在[-
    5
    2
    ，-
    3
    2
    ]    上恒正，求a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f(x)=
    1
    a-2
    (x-2)，(x≥a)
    1
    a-3
    (x-3)，(x＜a)
    ，已知存在t1，t2使得f(t1)=
    1
    2
    ，f(t2)=
    5
    2
    ，则t1-t2的取值范围是
    (
    3
    2
    ，+∞)∪(-∞，-
    3
    2
    )
    (
    3
    2
    ，+∞)∪(-∞，-
    3
    2
    )
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f(x)=
    1-x
    ax
    +lnx    在[1，+∞）上是增函数．
    （1）求正实数a的取值范围；
    （2）设b＞0，a＞1，求证：
    1
    a+b
    ＜ln
    a+b
    b
    ＜
    a+b
    b
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    a
    -
    1
    x
    （a≠0，x≠0）．
    （1）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
    （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案