Question

17．如图，已知半圆O：x²+y²=1（y≥0）及点A（2，0），B为半圆周上任意一点，以AB为一边作等边△ABM．设∠AOB=θ，其中0＜θ＜π．
（Ⅰ）将边AB表示为θ的函数；
（Ⅱ）求四边形OAMB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用余弦定理求得AB的值．
（Ⅱ）四边形OAMB的面积S=S_△OAB+S_△MAB，利用三角恒等变换化为2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．再根据0＜θ＜π，利用正弦函数的值域求得四边形OAMB的面积最大值．

解答 （Ⅰ）解：在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cosθ=5-4cosθ，
∴AB=$\sqrt{5-4cosθ}$．
（Ⅱ）解：四边形OAMB的面积 S_△OAB+S_△MAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ+$\frac{1}{2}$•AB²•sin$\frac{π}{3}$ 
=$\frac{1}{2}$•2•sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
又 0＜θ＜π，则当θ=$\frac{5π}{6}$时，四边形OAMB的面积最大值 2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查余弦定理、三角恒等变换、正弦函数的值域，属于中档题．