Question

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．
（Ⅱ）由函数f（x）=e^x-ax得到f′（x）=e^x-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在[

1

2

，1]上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，
∴f′（x）=e^x-2，f′（0）=-1，
∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1，
（Ⅱ）∵f′（x）=e^x-a，
a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
此时，f（x）的递增区间为（-∞，+∞），无递减区间，
a＞0时，
x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
此时，f（x）在（lna，+∞）递增，在（-∞，lna）递减；
（Ⅲ）（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．
因为M∩P≠∅，所以f（x）＜mx在[

1

2

，2]上有解，即?x∈[

1

2

，2]使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

，2]使m＞

ex-x

x

成立，
∴m＞(

ex-x

x

)min．
令g（x）=

ex

x

-1，则g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
所以g（x）在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
则g（x）_min=g（1）=e-1，
所以m∈（e-1，+∞）．

点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．