Question

3．已知$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$+$\frac{z}{c}$=1且$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$+$\frac{c}{z}$=0，试化简$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据已知所给的两个式子互为倒数，设$\frac{x}{a}$=u，$\frac{y}{b}$=v，$\frac{z}{c}$=w，对已知条件化简，
再利用公式（u+v+w）²=u²+v²+w²+2（uv+wv+uw），即可求出答案．

解答 解：设$\frac{x}{a}$=u，$\frac{y}{b}$=v，$\frac{z}{c}$=w，则
u+v+w=1，①
$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$+$\frac{1}{w}$=0，②
由②得，$\frac{vw+uw+uv}{uvw}$=0，
∵u、v、w都不为0，
∴vw+uw+uv=0；
把①两边平方得，
u²+v²+w²+2（uv+vw+wu）=1，
∴u²+v²+w²=1，
即$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}$=1．

点评 本题考查了换元法的应用问题，也考查了公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）的灵活应用问题．