Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点，过F₂的弦AB，若△ABF₁的周长为16，离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）若A₁，A₂是椭圆长轴上的两个顶点，P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点．求证：直线A₁P与直线A₂P的斜率之积是定值．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的定义，得△ABF₁的周长为4a=16，解之得a=4．再根据离心率e=

3

2

算出c=2

3

，从而得出b的值，可得该椭圆的标准方程及其焦点坐标；
（II）设P（x₀，y₀），利用直线的斜率公式算出A₁P、A₂P的斜率关于x₀、y₀的表达式，结合点P在椭圆上利用椭圆方程进行化简，可得直线A₁P与直线A₂P的斜率之积等于定值-

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）设F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，
∵弦AB经过椭圆的右焦点F₂，
∴△ABF₁的周长为|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=16，解之得a=4．
又∵椭圆的离心率e=

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，解得c=2

3

，
由此可得b=

a2-c2

=2
故该椭圆的标准方程为：

x2

16

+

y2

4

=1，焦点坐标为：F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则A₁（-4，0），A₂（4，0），
可得直线A₁P与直线A₂P的斜率分别为kA1P=

y0

x0+4

，kA2P=

y0

x0-4

(x≠±4)
∴kA1P•kA2P=

y02

x02-16

，
∵点P为椭圆上的点，满足

x02

16

+

y02

4

=1，可得y02=4(1-

x02

16

)=4-

x02

4

，
∴kA1P•kA2P=

4- x02 4

x02-16

=-

1

4

，即直线A₁P与直线A₂P的斜率之积等于定值-

1

4

．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并证明两条直线斜率之积等于常数．着重考查了椭圆的定义与标准方程、直线的斜率公式等知识，属于中档题．