Question

已知{a_n}是等差数列，公差d＞0，前n项和为S_n且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．对于数列{b_n}，其通项公式，如果数列{b_n}也是等差数列．
（1）求非零常数C的值；　　　
（2）试求函数（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}为等差数列，∴a₃+a₄=22…（1分）
由a₃•a₄=117，a₃+a₄=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根
又d＞0
∴a₃=9，a₄=13 …（2分）
∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3 …（3分）
∴…（4分）
∴
∵数列{b_n}也是等差数列
∴2b₂=b₁+b₃…（6分）
解得：或0（舍）
当时，b_n=2n满足题意． …（7分）
（2）∵
当且仅当即n=6时取等号．
∴f（n）的最大值为． …（14分）
分析：（1）根据{a_n}为等差数列，及a₃•a₄=117，a₂+a₅=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根，结合d＞0，可得a₃=9，a₄=13，从而可求a_n=4n-3，进一步可得通项公式，利用数列{b_n}也是等差数列，即可求得非零常数C的值；
（2），利用基本不等式，即可求f（n）的最大值．
点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查运用基本不等式，求函数的最值，确定数列的通项是关键．