Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=l，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，K是AC中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

（Ⅰ）求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）求三棱锥P-MNK的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过证明AB⊥平面ACC₁A₁，说明AB⊥AM，证明AM⊥NK，然后证明AM⊥平面A₁KNP，即可求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）通过AB∥NK，所以A₁B₁∥NK，则P到平面MNK的距离是定值，利用四面体体积不变，转化顶点是方法，采用等体积求三棱锥P-MNK的体积．

解答：解：（Ⅰ）因为AC中点为K，则N，K，A₁，P四点在一个平面内，
由于AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AB，又AB⊥AC，所以AB⊥平面ACC₁A₁，所以AB⊥AM，
所以AB⊥AM，又AB∥NK，所以AM⊥NK，
在正方形中，利用相似可知AM⊥A₁K，
故AM⊥平面A₁KNP，
所以PN⊥AM；
（Ⅱ）因为K是AC的中点，所以AB∥NK，所以A₁B₁∥NK，则P到平面MNK的距离是定值，等于A₁到MNK的距离，
三棱锥P-MNK的体积与三棱锥N-MA₁K的体积相等．有（1）知AB⊥平面ACC₁A₁，N到平面ACC₁A₁，的距离为

1

2

AB=

1

2

，
MA₁K的面积为：1-2×

1

2

×1×

1

2

-

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

8

，
所以三棱锥N-MA₁K的体积为：

1

3

×

3

8

×

1

2

=

1

16

，
所求棱锥的体积为：

1

16

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力与转化思想的应用．