Question

11．已知a≥1，x≥0，证明：不等式e^x-x-1≤$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$．

Answer 1

分析 设f（x）=e^x-x-1-$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$，求出导数，令g（x）=f′（x），求出导数，判断导数的符号，确定单调性，即可得证．

解答 证明：设f（x）=e^x-x-1-$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$，
f′（x）=e^x-1-$\frac{a}{2}$（2x+x²）e^x，
令g（x）=f′（x），g′（x）=e^x-$\frac{a}{2}$（2+4x+x²）e^x=e^x（1-a-2x-$\frac{a}{2}$x²），
由a≥1，x≥0，可得1-a-2x-$\frac{a}{2}$x²≤0，e^x＞0，
即有g′（x）≤0，g（x）在x≥0递减，
可得g（x）≤g（0）=0，即f′（x）≤0，
可得f（x）在x≥0递减，可得f（x）≤f（0）=0，
则有e^x-x-1≤$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数，由导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．