Question

给定下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的面积为

1

2

；
②若a、β为锐角，tan(α+β)=

1

3

，tanβ=

1

2

则α+2β=

π

4

；
③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长，且a²+b²-c²＜0，则△ABC一定是钝角三角形．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据扇形的面积公式得s=

nπr2

2π

=1故①错，先得α+2β=（α+β）+β，则tan[（α+β）+β]，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

求出其正切值，因为α、β为锐角，得到α+2β即可；根据正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，因为sinA＜sinB，得到BC＜AC；根据余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，因为a²+b²-c²＜0，而2ab＞0，得到cosC＜0，因为∠C∈（0，π）所以∠C为钝角．

解答：解：①由扇形的面积公式s=

nπr2

2π

=1故错误；②因为α+2β=（α+β）+β，则tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=1，又因为α、β为锐角，所以
α+2β=

π

4

，故正确；③根据正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，因为sinA＜sinB，得到BC＜AC故正确；④根据余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，因为a²+b²-c²＜0，而2ab＞0，得到cosC＜0，因为∠C∈（0，π）所以∠C为钝角故正确．
故答案为②③④

点评：考查学生掌握扇形面积公式、两角和的正切函数公式的能力，以及正弦余弦定理的运用能力．