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某市出租车的起步价为6元,行驶路程不超过3km时,租车费为6元,若行驶路程超过3km,则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ(按整km数计算,不足1km的自动计为1km)是一个随机变量,则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km),它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.
(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列,并求ξ的数学期望和方差;
(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.
【答案】分析:(1)根据概率分布的性质:概率之和为1,列出关于a的等式,求出a值,从而得出ξ的分布列,再根据数学期望和方差公式计算ξ的数学期望和方差即可;
(2)根据题意有:η=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),利用变量之间的线性关系求出η的数学期望和方差.
解答:解:(1)由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.(1分)
∴100a2+7a=0.3,
∴1 000a2+70a-3=0,a=,或a=-(舍去),即a=0.03,(2分)
∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,
∴ξ的分布列为
ξ200220240260280300
P0.120.180.200.200.180.12
(8分)
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;  (10分)
(2)由已知η=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),
∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)
Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8 676.(12分)
点评:本题考查古典概型及其概率计算公式,以及离散型随机变量分布列、期望、方差的计算;一般计算量较大,注意准确计算即可.
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(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列,并求ξ的数学期望和方差;

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已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km),它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a4a.

(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列,并求ξ的数学期望和方差;

(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.

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