Question

某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．

设出租车一天行驶的路程数ξ(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²＋3a、4a．

(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；

(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由概率分布的性质有0.12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1.……1分 　　∴100a2＋7a＝0.3，∴1 000a2＋70a－3＝0，a＝，或a＝－(舍去)，即a＝0.03，……2分 　　∴100a2＋3a＝0.18，4a＝0.12，∴ξ的分布列为 　　8分 　　∴Eξ＝200×0.12＋220×0.18＋240×0.20＋260×0.20＋280×0.18＋300×0.12＝250(km) 　　Dξ＝502×0.12＋302×0.18＋102×0.20＋102×0.20＋302×0.18＋502×0.12＝964;……10分 　　(2)由已知η＝3ξ－3(ξ＞3，ξ∈Z)，∴Eη＝E(3ξ－3)＝3Eξ－3＝3×250－3＝747(元) 　　Dη＝D(3ξ－3)＝32Dξ＝8 676．