Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，以点F为圆心且过点A的圆M与x轴正半轴交于点B，AB的延长线交C于点D，AF的延长线交C于点E．

（1）若点A的纵坐标为4，求圆M的方程；

（2）若线段AD的中点为G，求证：轴；

（3）的面积是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）; (2)见解析；(3)，理由见解析；

【解析】

（1）由题意求得点的坐标，求出圆心和半径，写出圆的方程；

（2）设出点的坐标，写出的方程，与抛物线方程联立，求得直线的方程，再由直线与抛物线方程联立，利用中点坐标求得点的纵坐标，由此判断轴；

（3）利用点的坐标表示的面积，利用基本不等式计算它的最小值．

解：（1）由题意，设点的坐标为 ，由，求得；又点的坐标为， ,∴圆的方程为 ；

（2）设，的方程为 ，代入

得 所以 即 ；

又 ，故点的坐标为 ；

直线的方程为 ，即 ，代入 ，可得 ；

∴ ，

故 ，所以轴。

（3）由（2）知， ，

又 ，可得，

∴的面积为

（当且仅当时取“”），

所以的面积存在最小值，且此最小值为．